条件概率

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条件概率

定义 条件概率

• 设 \((\Omega,\mathscr{F},\tP)\) 为概率空间, \(A,B\in\mathscr{F}\), 其中 \(\tP(A)>0\), 则称 $$ \tP(B|A)=\dfrac{\tP(AB)}{\tP(A)} $$ 为在 \(A\) 发生条件下 \(B\) 发生的概率.

我们可以将条件概率推广到多个事件.

定理 概率的乘法定理

• 设 \((\Omega,\mathscr{F},\tP)\) 为概率空间, \(\{A_k,\ k=1,2,\cdots,n\}\subset \mathscr{F}\). 如果 \(\tP\left(\bigcap\limits_{k=1}^n A_k\right)>0\), 则有 $$ \tP\left(\bigcap\limits_{k=1}^n A_k\right)=\tP(A_1)\tP(A_2|A_1)\tP(A_3|A_1A_2)\cdots\tP(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1}). $$

定义

• 设 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 是概率空间 \((\Omega,\mathscr{F},\tP)\) 中的一组事件, 如果满足它们两两不交且 \(\bigcup\limits_{k=1}^n A_k=\Omega\), 则称这是 \(\Omega\) 的一个分划.

定理 全概率公式

• 设概率空间 \((\Omega,\mathscr{F},\tP)\) 中 \(A_1,A_2\cdots,A_n\) 是 \(\Omega\) 的一个分划, 如果 \(\tP(A_k)>0,\ k=1,2,\ldots,n\) 则对任意的 \(B\in\mathscr{F}\) 有 $$ \tP(B)=\sum\limits_{k=1}^n\tP(A_kB)=\sum\limits_{i=1}^n\tP(A_k)\tP(B|A_k). $$

定理 贝叶斯 (\(\text{Bayes}\)) 公式

• 设 \((\Omega,\mathscr{F},\tP)\) 为概率空间, \(\{A_1,A_2,\cdots,A_n\}\) 是对 \(\Omega\) 的一个分划, 如果 \(\tP(A_k)>0,\ k=1,2,\cdots,n\), 则对任何 \(B\in\mathscr{F}\), 只要 \(\tP(B)>0\), 就有 $$ \tP(A_k|B)=\dfrac{\tP(A_k)\tP(B|A_k)}{\sum\limits_{j=1}^n\tP(A_j)\tP(B|A_j)},\quad k=1,2,\cdots,n. $$

例 \(\text{Polya}\) 罐子模型

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